Назад (Информатика).

Системы счисления. Основные позиционные системы счисления

Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая - 7 единиц, а третья - 7 десятых долей единицы. Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения:

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7·10 2 + 5·10 1 + 7·10 0 + 7·10 -1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание системы можно принять любое натуральное число - два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения:

an-1*qn-1 + an-2*qn-2 + ... + a1*q1 + a0*q0 + a-1*q-1 + ... + a-m*q-m

где ai - цифры системы счисления; n и m - число целых и дробных разрядов, соответственно. Таким образом, максимальное целое, которое можно представить в n разрядах системы счисления с основанием q, равно qn-1, минимальное значащее число - q-m, количество различных чисел, которые можно записать, используя n разрядов в целой части и m в дробной, составляет qn+m. Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно: двоичная (используются цифры 0, 1); восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7); шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел - от десяти до пятнадцати - в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Подробнее о системах счисления можно узнать из статьи Системы счисления. Перевод систем счисления.