Определитель (детерминант) матрицы.
Определитель: det, , ||, детерминант.
Определитель - это не матрица, а число.
Как найти определитель матрицы?
Чтобы найти определитель матрицы вводят понятие "минор". Обозначение: Mij - минор, Mij2 - минор второго порядка (определитель матрицы 2*2) и т.д.
Чтобы найти минор для элемента aij, вычеркиваем из матрицы A i-ю строку и j-й столбец. Получаем матрицу размерностью n-1*m-1, находим определитель этой матрицы.
Пример: найти минор второго порядка для элемента a12 матрицы A:
Решение:
Вычеркиваем из матрицы A 1-ю строку и 2-й столбец. Получаем матрицу размерностью 2*2, находим определитель этой матрицы:
Ответ: -6.
Таким образом, минор - это не матрица, а число.
Пример: найти определитель (в общем виде) матрицы 2*2 разложением по 1) строке; 2) столбцу:
Решение:
По строке: det A = a11*(-1)1+1*M11+a12*(-1)1+2*M12 = a11*1*a22+a12*(-1)*a21 =
= a11*a22-a12*a21
По столбцу: det A = a11*(-1)1+1*M11+a21*(-1)2+1*M21 = a11*1*a22+a21*(-1)*a12 =
= a11*a22-a21*a12
Несложно увидеть, что получен одинаковый результат.
Таким образом, чтобы найти определитель матрицы 2*2 достаточно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной:
Как быстро вычислить определитель третьего порядка?
Для вычисления определителя третьего порядка используют правило треугольника (или "звездочки").
1. Перемножаем элементы главной диагонали: det(A)=11*22*33...
2. К полученному произведению прибавляем произведение "треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали": det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32...
3. Все, что связано с побочной диагональю, берем со знаком "-". Перемножаем элементы побочной диагонали и вычитаем: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31...
4. Аналогично "главным треугольникам" перемножаем побочные и вычитаем: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31-11*23*32-33*12*21.
det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31-11*23*32-33*12*21=
=7986+8556+8736-8866-8096-8316=0
Свойства определителя матрицы.
- При перестановке местами двух параллельных строк или столбцов определителя его знак меняется на обратный;
- Определитель, содержащий две одинаковых строки или столбца, равен нулю;
- Если одну из строк определителя умножить на какое-либо число, то получится определитель, равный исходному определителю, умноженному на это число;
- При транспонировании матрицы её определитель не меняет своего значения;
- Если в определителе вместо любой строки записать сумму этой строки и любой другой строки, умноженной на некоторое число, то полученный новый определитель будет равен исходному;
- Если каждый элемент какой-либо строки или столбца определителя представляем в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей;
- Общий множитель элементов какой-либо строки или столбца определителя можно выносить за знак определителя.
