Назад (Математика).

Нахождение обратной матрицы.

В этой статье подробно разбирается нахождение обратной матрицы, рассмотрено построение союзной и транспонированной матрицы алгебраических дополнений. Особое внимание уделяется решению примеров, в которых требуется построить обратную матрицу для заданной. Нахождение обратных матриц является важной частью курса математического анализа. Умение работать с матрицами поможет в решении многих задач. Без этого навыка будет достаточно сложно в дальнейшем. Например, в некоторых разделах экономики при помощи матриц производятся различные вычисления.

Прежде чем приступить к рассмотрению примеров на нахождение обратной матрицы, рассмотрим один важный вопрос. Что необходимо знать и уметь для успешного изучения данного материала? А именно:

1. Что такое детерминант (определитель) матрицы?

Определитель матрицы - многочлен от элементов матрицы. Определитель можно найти только у квадратной матрицы, то есть у матрицы, у которой число строк равняется числу столбцов. читать далее...

2. Что такое минор матрицы?

Если в матрице выделить несколько произвольных строк и столько же столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено k строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка k. Примечательно то, что это свойство применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным. подробнее...

3. Уметь вычислять транспонированную матрицу.

О том, как транспонировать матрицу, будет рассказано ниже в этой статье.

4. Уметь вычислять союзную матрицу.

Сама процедура нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы. Обращение матрицы возможно только для квадратных матриц (например: 2*2, 3*3, 4*4).

Обратная матрица - A-1. Условие: A*A-1 = A-1*A = I (единичная матрица).

Если определитель матрицы окажется равным нулю, то обратной матрицы не существует. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется неособенной или невырожденной или обратимой.

Иногда студент получает простое задание - найти обратную для матрицы 2*2. Тут особого мастерства от него не требуется, и вот почему...

Чтобы найти обратную матрицу для матрицы 2*2, нужно число, обратное определителю матрицы (1/det), умножить на немного измененную исходную матрицу. А именно, в исходной матрице элементы главной диагонали переставляют местами, а у элементов побочной диагонали меняют знак:

Пример: найти обратную матрицу для матрицы 2*2:

Нахождение обратной матрицы

Нахождение обратной матрицы для матриц 3*3, 4*4 и т.д. требует более углубленных знаний.

A-1 = 1/detA * CT, где CT - транспонированная союзная матрица.

Транспонирование - замена строк столбцами (AT = [aij=aji]).

Пример: транспонировать матрицу:

Транспонирование матрицы

Решение:

Согласно определению, просто заменяем строки столбцами:

Транспонирование матрицы

Союзная матрица - матрица, состоящая из алгебраических дополнений, соответствующих элементам исходной матрицы.

Алгебраическим дополнениемэлемента aij определителя называется его минор Mij, умноженный на (–1)i+j. Формула нахождения алгебраического дополнения элемента:
Aij = (-1)i+j*Mij.

Пример: найти обратную матрицу:

Обратная матрица

Решение:

1. Найдем детерминант матрицы:

Обратная матрица

2. Найдем союзную матрицу:

Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца , а второй -- номер строки , в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение:

  1. A11 = (-1)1+1*0 = 0;
  2. A12 = (-1)1+2*(-2) = 2;
  3. A13 = (-1)1+3*(-3) = -3;
  4. A21 = (-1)2+1*(-6) = 6;
  5. A22 = (-1)2+2*4 = 4;
  6. A23 = (-1)2+3*6 = -6;
  7. A31 = (-1)3+1*0 = 0;
  8. A32 = (-1)3+2*4 = -4;
  9. A33 = (-1)3+3*3 = 3.
Союзная матрица

Транспонируем союзную матрицу:

Транспонированная союзная матрица

Ну и, собственно, сам ответ - обратная матрица:

Обратная матрица

Нахождение обратной матрицы требует довольно громоздких вычислений и необычной расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.